quinta-feira, 22 de maio de 2014

O Blog - Post Final

              Eu gostei do trabalho, pois é um trabalho divertido e diferente. Eu nunca tive um professor que desse um trabalho assim, todos os trabalhos que tive sempre foram relacionados á matéria que estava sendo dada em sala de aula naquele trimestre. Quando este foi apresentado, não achei que iria gostar, porém, em quanto pesquisava e descobria coisas novas, comecei a gostar mais da ideia de um blog.
             Para fazer o blog precisávamos fazer, pelo menos, dois posts por semana, o que no começo foi fácil, porém começamos a nos ocupar com outras lições e atividades deixando menos tempo para o blog, por isso, tive um pouco de dificuldade ao faze-lo.
            As pesquisas me ensinaram diferentes coisas que não sabia e complementaram aquilo que sabia. Descobri “O Sentido dos Números”, “A História dos Números”, a “Concepção de Números”, “Jeitos de Contar do Passado”, etc. Complementei coisas que já sabia como: “Cálculo de Perímetro e Área”, “Dicas para saber se é divisível” (...). Pesquisei também algumas das matérias que aprendi na escola e entendi melhor, “Triângulos”, “Monômios e Polinômios”, “Mediana, Bissetriz e Altura de um Triângulo”, “Ângulos” etc. E descobri algumas curiosidades: “Gauss”, “Números Amigáveis” e “Cadeira de 3 Pés”. 
            Gostei de aprender sobre os números, pois eles são essenciais na matemática! Gostei muito de relembrar sobre Gauss - já havia estudado um pouco sobre ele ano passado – pois ele era só um garoto e descobriu em segundos um jeito de contar todos os números de 1 á 100 rapidamente e sem precisar ficar contando de um em um e esse jeito também é usado em outros cálculos hoje. Acho que foi muito bom pesquisar sobre a matéria da escola, porque eu posso ter entendido ela só pelo que o professor disse em sala, porém pesquisar e ler a deixa mais clara na cabeça, como um reforço. 
         Eu tive duas postagens, tópicos de postagens favoritos: “Jeitos de Contar do Passado” e “Cadeira de 3 Pés”. O post “Cadeira de 3 Pés” é um dos meus favoritos, pois eu achei muito interessante o fato de vivermos sentando em cadeiras de 4 pés, que mancam e são menos firmes do que uma cadeira de 3 pés que forma um triângulo, sendo mais  firme e que não mancaria; O post “Jeitos de Contar do Passado” é um dos meus favoritos, pois eu gosto de perceber como o raciocínio da “conta”, calculo começou e como e quanto ele evoluiu até os dias de hoje.    
         Este trabalho foi interessante, pois, para mim, seu objetivo é de pesquisar sobre diferentes aspectos da matemática, aprender coisas novas, curiosidades e de começarmos a ver a matemática não só como uma simples matéria, mas sim como algo importante que faz parte do nosso cotidiano diretamente ou indiretamente. 

Divisão de Fração

Na divisão de fração "trocamos o denominador pelo numerador" EM UMA UNICA FRAÇÃO e fazemos uma multiplicação:


A imagem abaixo pode explicar melhor:

Multiplicação de Fração

Subtração de Fração

  A subtração com fração é feita exatamente como a adição, a diferença é que um subtrai e o outro adiciona. 1. Achar o mmc (se o denominadores forem diferentes. 2. Multiplicar o numerador pelo numero pelo qual o denominador foi multiplicado. 3 (na subtração) subtrair;    
  

Adição de Frações

Para fazer uma adição de fração precisamos primeiramente de denominadores iguais. Para isto, precisamos fazer o mmc (menor múltiplo comum), exemplo: queremos descobrir o mmc entre 8 e 12:
     Depois de descobrirmos o mmc, temos que ver por quanto ele foi multiplicado e com isso multiplicar o numerador pelo mesmo (como já esta na imagem): 8 x 3= 24; 12 x 2= 24;
 A imagem  abaixo da outro exemplo, explicando melhor o mmc:



quarta-feira, 14 de maio de 2014

Jeitos de Contar do Passado - Caçada

Jeitos de Contar do Passado - Ovelhas


    A lã das ovelhas era utilizada para fazer tecidos. Com isso, o trabalho do pastor era simples: de manhã, ele levava as ovelhas para pastar e de noite as guardava dentro de um cercado.
    Como ele tinha certeza que todas as ovelhas voltaram e entraram no cercado?
    O jeito que o pastor arranjou foi de contar as ovelhas com pedras:
    - Cada ovelha que saia para pastar correspondia a uma pedra;
    - O pastor colocava todas elas em um saquinho;
    - No fim do dia, a cada ovelha que entrava no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Ou seja, se não sobrasse pedra todas as ovelhas voltaram; Se sobrasse, nem todas voltaram
   

Cálculo do Perímetro 

Perímetro é a soma dos lados de uma figura. Ainda usando as medidas do exemplo acima, vamos calcular qual é o perímetro de um quadrado.
P= L + L + L + L = 4xL
P= 4×8
P= 32

Cálculo da Área

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.
Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:
Ex: b=10 e h=8 
b . h = 10 . 8 
área=      80

Curiosidades - Cadeira de 3 pés


Você já deve ter notado que cadeiras com quatro pés geralmente “mancam”. Agora, uma cadeira com três pés jamais irá mancar. A matemática explica esse fato, mas a explicação não é de simples entendimento. Então deixaremos esse mérito de lado. Uma maneira simples de observar tal fato é que os três pés da cadeira formam um triângulo e todo triângulo é mais “firme” que um quadrilátero (formado pelos 4 pés de uma cadeira normal). Pense na porteira de uma fazenda. Todas possuem uma tábua na diagonal, formando dois triângulos. Isso deixa a porteira mais rígida, impedindo que ela se deforme.

Ângulos Complementares, Suplementares e Replementares

COMPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 90º, neste caso, um ângulo é o complemento do outro.

SUPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 180º, neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.

REPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 360º, neste caso, um ângulo é o replemento do outro.

Tipos de Ângulos

Colaterais: Estão no mesmo lado da transversal.


Alternos: Estão em lados diferentes da transversal e podem ser interna ou externa.

Colaterais Internos: Estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180°
Colaterais Externos: Estão do mesmo lado da transversal, fora das paralelas, a soma dos ângulos é 180°.

Colaterais Adjacentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região, apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°.

Colaterais Correspondentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Alternos Internos: Estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Alternos Externos: Estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Alternos Comuns:Estão em lados e regiões diferentes da transversal e não apresentam o mesmo vértice, a soma de seus ângulos é 180°

Alternos Adjacentes: Estão em lados diferentes da transversal, mas na mesma região e apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°

Opostos pelo Vértice: Estão em lados e regiões diferentes da transversal e apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.

Quanto é X?

 
Quanto é x?

Como responder:
Sabendo que os ângulos internos de um triângulo tem a soma de 180, somamos os dois que já sabemos e subtraímos de 180.
Exemplo: Letra a) x+50+30=180
                               x+80=180
                               x=180-80
                                 x=100




Resposta da Letra c) x+50+65=180
                                  x+115=180
                                  x=180-115
                                      x=65

Ângulos Internos de um Triângulo

 ÂNGULOS INTERNOS ...TEOREMA ...


... EM QUALQUER TRIÂNGULO, A SOMADAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOSÉ IGUAL A 180 GRAUS ...

Algumas coisas sobre Monômios

Adição e subtração de monômio 

A adição e a subtração de monômio devem ser efetuadas quando as partes literais são semelhantes. Exemplos:

2a + 7a = 9a
5x – 2x = 3x
10ab – 9ab = ab
6y – 9y = – 3y
7bc + 3cb = 10bc ou 10cb
– 12xy – 10xy = – 22xy


Multiplicação entre monômios 

Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes devemos seguir os seguintes passos:
1º passo: multiplicar os coeficientes
2º passo: conservar a parte literal e somar os expoentes.

Exemplos:

2x * 2x = 4x²
4xy * 6xy² = 24x²y³
10a²b * 9a²b³ = 90a4b4
5xyz * 6x²y³z = 30x³y4z²


Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos:
1º passo: multiplicar os coeficientes
2º passo: agrupá-las, se as letras forem diferentes
Exemplo:
2x * 3y = 6xy
4ab * 5z = 20abz
20c * 2ab = 40abc
x * 6a = 6xa


Divisão entre monômios

Parte literal semelhantes
1º passo: dividir os coeficientes
2º passo: conservar a parte literal e subtrair os expoentes

Exemplo:
5x³ : 5x² = x
10x²y² : 2x = 5xy²
30z : 5z = 6
20b³ : 10b = 2b²

Monômios e Polinômios

Monômio
Expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplos:

2x, 4ab, 10x², 20xyz, 30abc, 2z, y, b³, 100ax³

Monômios semelhantes
Expressões algébricas que possuem a parte literal semelhante.
Exemplos:

2x e 4x
7x² e 8x²
10ab e 3ab
2ya e 6ya
7bc e 9bc
100z e 20z


Polinômios

Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.
Exemplos:

2x² + 7x – 6
10x³ + x² – 9x
6x + 5
120x² – 10x + 9
14x4 + 7x³ – 20x² – 60x – 100

quarta-feira, 7 de maio de 2014

Ângulos


Mediana, Bissetriz e Altura de um Triângulo

Mediana

Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais. Dessa forma temos que mediana é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice. Observe a figura:





A, B e C são os vértices do ΔABC.
M ponto médio da base BC, dessa forma BM = MC.
AM segmento de reta com extremidades no vértice A e no ponto médio M, portanto, nesse exemplo podemos dizer que o segmento AM é a mediana do ΔABC.


Bissetriz
Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice. Veja o exemplo:




AS é um segmento de reta que dividiu o ângulo  em duas partes iguais.


Altura 
Encontramos a medida da altura de um triângulo através de um segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto.

Altura no triângulo acutângulo



O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC, portanto, AH é a altura do ΔABC.

Altura no triângulo retângulo


Nesse triângulo, o segmento EF representa a altura do ΔEFG, pois é perpendicular ao lado FG. 

Altura no triângulo obtusângulo



A base RQ foi prolongada formando o segmento RX. Do vértice P ao ponto x formamos um segmento de reta perpendicular a RX, dessa forma, PX é a altura do ΔPQR.

Curiosidades 2 - Gauss

Um professor, para manter seus alunos ocupados, mandou que somassem todos os números de um a cem. Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050. Como ele fez a conta tão rápido? Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101. Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101. Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050. E assim, ainda criança Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É por muitos considerado o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.

SOMANDO TODOS OS NÚMEROS DE 1 A 100
Vamos ver como Gauss percebeu rapidamente que a soma de todos os números de 1 a 100 resulta em 5.050. Para isso, vamos somar os termos de dois em dois, de uma forma bem especial. Veja:
1 + 100=101,
2 + 99=101,
3 + 98=101,
4 + 97=101,
.
.
.
47 + 54=101,
48 + 53=101,
49 + 52=101,
50 + 51=101.

Nas somas acima, ocupando o lugar da primeira parcela temos todos os números de 1 a 50. No lugar da segunda parcela, temos todos os números de 51 a 100. São 50 somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número: 101. Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular 50 x 101 = 5050.

Hoje em dia o modo da Gauss ainda é utilizado, como por exemplo:
A soma de todos os números de 1 a 100 é um caso particular de soma de uma progressão aritmética (PA). Uma PA é uma sucessão de números em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma. Por exemplo:
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
é uma PA de razão 3 (a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a 3).

O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer PA. Vamos utilizá-lo para a PA acima:
5 + 26=31,
8 + 23=31,
11 + 20=31,
14 + 17=31.
Logo, a soma dos termos da PA dada é 4 x 31 = 124. 

Curiosidades 1 - Números Amigáveis

Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.
Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284.
Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.

Triângulos